正规战争模型的后继讨论
题目：在正规战模型中，设乙方与甲方战斗有效系数之比为a/b=4，初始兵力x0与y0相同。
（1）问乙方取胜时的剩余兵力是多少，乙方取胜的时间如何确定。
（2）若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率r增援，重新建立模型，讨论如何判别双方的胜负。
解:为解决上述问题，我们必须为正规战争建立模型，按题目要求，以5.3节的模型为基础，现我们建立模型如下：
用x (t)和y（t）表示甲、乙交战双方时刻t的兵力，可以视为双方的士兵人数。
（1）每一方的战斗减员率取决于双方的兵力和战斗力，甲乙方的战斗减员率分别用f(x, y)和g (x , y)表示。
（2）每一方的非战斗减员率（由疾病、逃跑等因素引起）只于本方的兵力成正比。
（3）甲乙双方的增援率是给定的函数，分别用u(t)和v(t)表示
由此可以写出关于x(t),y(t)的微分方程为
方程（1）
当甲乙双方都用正规部队作战，我们只须分析甲方的战斗减员率f（x ,y）.j甲方士兵公开活动，处于乙方每一个士兵的监视和杀伤范围之内，一旦甲方某个士兵被杀伤，乙方的火力立即集中在其余士兵身上，所以甲方的战斗减员率只与乙方兵力有关，可以简单地设f与y成正比，即f=ay。 a表示乙方平均每个士兵对甲方士兵的杀伤率（单位时间的杀伤数），称乙方的战斗有效系数。a可以进一步分解为a=rypy ，其中ry是乙方的射杀率（每个士兵单位时间的射击次数），py是每次射击的命中率。
类似地有g=bx，且甲方的战斗有效系数b=rxpx ，rx和px是甲方的射击率和命中率。而且在分析战争结局时忽略非战斗减员一项（与战斗减员相比，这项很小），并且假设双方都没有增援，记双方的初始兵力分别是x0和y0，方程（1）可化简为：
方程（2）
又由假设2，甲乙双方的战斗减员率分别为
， 。
于是得正规作战的数学模型：
方程（3）
由方程（3）可知，双方的兵力x(t),y(t)都是单调减函数，不妨认为兵力先减至零的一方为负方，为了得到双方胜负的条件，不必直接求解方程（3），而在相平面上讨论相轨线的变化规律，由方程（3）可得
（4）
其解为
Ay2—bx2=k (5)
注意到方程（3）的初始条件。有
K=ay02—bx02 (6)
由（5）式确定的相轨线是双曲线，如图，箭头表示随时间t的增加，x(t)，y(t)的变化趋势，可以看出，如果k>0，轨线将于y轴相交，这就是说存在t1使得x(t1)=0,y(t1)= >0，即当甲方兵力为零时乙方兵力为正值，表明乙方获胜，同理可知，看k<0时甲方获胜，而当k=0时双方战平
进一步分析某一方比如乙方取胜的条件，由 （6）式并注意到a,b的含义，乙方获胜的条件可表为
（7）
（7）式说明双方初始兵力之比y0/x0以平方关系影响着战争的结局，例如若乙方兵力增加到原来的2倍（甲方不变），则影响到原来的4倍（px ，ry , py 均不变 ），那么为了与此相抗衡，乙方只需将初始兵力y0增加到原来的2倍，由于这个原因正规战争模型称为平方率模型。
（1）针对第一问。即在正规战模型中，设乙方与甲方战斗有效系数之比为a/b=4，初始兵力x0与y0相同。问乙方取胜时的剩余兵力是多少，乙方取胜的时间如何确定。解如下：
根据上面的相轨线可得：
乙方取胜时的剩余兵力为：y(t)=
要确定乙方取胜的时间t1,需要解方程（3），可得
令x(t1)=0.，且有a/b=4可算出
t1= ，t1与甲方战斗有效导数b成正比。
以上是第一问的解答，下面进行第二问的解答：
（2）在正规战模型中，设乙方与甲方战斗有效系数之比为a/b=4，初始兵力x0与y0相同。若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率r增援，重新建立模型，讨论如何判别双方的胜负。
解：当甲方后备部队以不变的速率r增加时，方程（3）的第一个方程应给为
即方程（3）改为：
相轨线为：
ay2—ry—bx2=k
k=ay02-ry-bx02
即在上图的相轨线图中的轨线向上移动r/2a ，由图可得乙方取得胜利的方程条件为k>0，即为：
思考与讨论：
在战争模型里，我们应用了微分方程建模的思想。我们知道，一个战争总是要持续一段时间的，随着战争态势的发展，交战双方的人力随时间不断变化。
这类模型反映了我们描述的对象随时间的变化，我们通过将变量对时间求导来反映其变化规律，预测其未来的形态。譬如在战争模型中，我们首先要描述的就是单位时间双方兵力的变化。我们通过分析这一变化和哪些因素有关以及它们之间的具体关系列出微分方程。然后通过对方程组化简得出双方的关系。这也就是我们微分方程建模的步骤。
这个行吗？
管住嘴迈开腿数学建模怎么做如下：
“管住嘴迈开腿”是一种健康的生活方式，可以帮助人们保持身体健康和良好的体态。而数学建模则是一种解决实际问题的方法，通过数学模型来描述和分析实际问题，以便更好地解决问题。下面是如何将“管住嘴迈开腿”与数学建模相结合的方法。
收集数据：首先需要收集与“管住嘴迈开腿”相关的数据，如身高、体重、饮食习惯、运动量等。这些数据可以通过问卷调查、体测等方式获得。
建立模型：根据收集到的数据，可以建立数学模型来描述“管住嘴迈开腿”的关系。例如，可以建立身体质量指数（BMI）模型来评估身体健康状况，或者建立卡路里消耗模型来计算运动量和饮食摄入的平衡。
分析模型：建立模型后，需要对模型进行分析和优化。例如，可以通过调整饮食和运动量来优化卡路里消耗模型，以达到更好的减肥效果。
验证模型：建立和优化模型后，需要对模型进行验证。例如，可以通过实验或者数据对比来验证模型的准确性和可靠性。
应用模型：最后，可以将建立和验证的模型应用到实际生活中，以帮助人们更好地控制饮食和运动，保持身体健康和良好的体态。
总之，“管住嘴迈开腿”与数学建模相结合，可以帮助人们更好地控制饮食和运动，保持身体健康和良好的体态。通过收集数据、建立模型、分析模型、验证模型和应用模型等步骤，可以更好地解决实际问题，提高生活质量。
